Jawor, można to zrobić bez użycia układu równań różniczkowych Eulera

Dobrze jest wsadzić sobie układ kartezjańskich współrzędnych w naczynie, oś y pokryć z osią obrotu.

Zbadajmy pochodną naszej funkcji, którą mamy znaleźć - poszukujemy y(x), zaś jej pochodna, dy/dx to inaczej mówiąc styczna do powierzchni cieczy w każdym jej punkcie (jej wartość w danym punkcie to tangens kąta nachylenia stycznej w tymże punkcie).

Jeśli narysujemy sobie siły działające na kawałeczek cieczy na jej powierzchni to widzimy siłę grawitacji, pionową, w dół zwróconą oraz siłę odśrodkową bezwładności zwróconą poziomo na zewnątrz (tak, że ich wypadkowa jest prostopadła do powierzchni cieczy).
Jeśli przyjrzymy się rysunkowi, stwierdzimy, że jest tam ten sam kąt co kąt nachylenia stycznej w rozważanym punkcie.
Dokładniej


Skoro tangens kąta nachylenia stycznej to pochodna funkcji w danym punkcie, to


Stała C zależy od wysokości, na jakiej umieściliśmy oś iksów.

Jak widzimy, przekrojem powierzchni cieczy płaszczyzną pionową jest parabola; zatem sama powierzchnia obracającej się cieczy będzie miała kształt paraboloidy obrotowej.

Ale za "Czy siła odśrodkowa i siła dośrodkowa się równoważą?" to się baty należą - skoro się siły miałyby równoważyć to jaki w ogóle ruch po okręgu miałby mieć miejsce? To i tak na wyrost mówione... ale dam już spokój.

Witajcie

Jestem zapalonym czytelnikiem astronetu, astronomię traktuję jako hobby, mam nawet teleskop do obserwacji planet, moze nie najlepszy ale wystarczy.. no i przyszedł ten dzien.. na fizyce dostałem zadanie, tyle ze obliczen w ogole nie potrafię, byłbym wdzięczny gdybyście pomogli mi rozwiązać następujące zadanie:

Ruch ciała wokół Słońca.
Przyjmując, że Słońce jest nieruchome, zapisać równania różniczkowe, a następnie różnicowe rządzące ruchem ciała (np. komety) w polu grawitacyjnym Słońca. Rozwiązać równania numeryczne (wartości do obliczeń można przyjąć dowolne i bezwymiarowe). Przyjąć stan początkowy:
.
Pokazać, że dla różnych wartości otrzymuje się orbitę eliptyczną, paraboliczną lub hiperboliczną.
Uwaga: jeżeli stosujemy metodę Eulera wziąć mały krok czasowy i odpowiednio dużą liczbę iteracji (rzędu 100 000).


Do powyższego zadania udało mi się znaleźć coś takiego:
http://www.toya.net.pl/~j...a%20analiza.htm

Na obsłudze wyszukiwarki Google moja wiedza się niestety kończy :-(

W ogólności zarówno potencjał jak i energia kinetyczna mogą zależeć od . Mamy z taką sytuacją do czynienia w przypadku chociażby nierelatywistycznego lagranżjanu dla cząstki w polu elektromagnetycznym, w którym :
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1832

W zasadzie to co uznamy w lagranżjanie za energię kinetyczną a co za potencjalną nie ma znaczenia. Ważne aby równania Eulera-Lagrange'a dawały dobre, czyli zgodne z doświadczeniem, równania ruchu.

dowod mozna wyprowadzic chociazby poprzez dowodzenie stalej wartosci pewnego funkcjonalu to pewnie nie tylko ja chciałbym zobaczyć, znam tylko taki

Stałej wartości?? Jak sama nazwa wskazuje: zasada najmniejszego działania. Funkcjonał przyjmuje minimum. Warunkiem przyjmowania minimum jest zerowanie się wariacji. A warunkiem zerowania się wariacji jest równanie Eulera (lub w tym wypadku równanie Lagrange'a II-rodzaju).


Zgadzam sie. Ale jezeli zrozumiec jaka jest prawdziwa natura energii oraz zasady zachowania energia, to usuwamy z tego pojecie energii.


Prawdę mówiąc nie bardzo rozumiem o co ci chodzi. Chodzi o to, że pojęcie energii jest mało intuicyjne, a chciało by się mieć model matematyczny z samymi intuicyjnymi wielkościami? Niestety takowy nie powstał i śmiem wątpić aby mógł powstać. Niestety (albo na szczęście) nie wszystko w fizyce jest intuicyjne, logiczne itd. (fizyka współczesna to prawie archiwum X, albo elektronika: jednego dnia wychodzi - drugiego nie). Energia to wielkość ściśle związana z ruchem (coś jak paliwo), a, że wzorki są mało intuicyjne to niestety - doświadczenia wykazały, że muszą być takie, żeby model matematyczny dawał dobre rezultaty.

W każdym razie metody energetyczne są bardzo przystępne. Można za ich pomocą rozwiązywać takie problemy, przy których zwykła mechanika Newtona by wysiadła. Weźmy np. podwójne whadało matematyczne. Ja się nie podejmuje napisania dla niego równań ruchu przy użyciu metod Newtona (pewnie da radę, ale dzięki serdeczne - Lagrange'em się w w min. rozwiązuje).

Nie od dziś wiadomo, że niektóre całki nie przedstawiają się w postaci skończonej liczby funkcji elementarnych. Wiadomo również, że niektórych równań ruchu nie da się rozwiązać (mówię o dokładnym rozwiązaniu, a nie numerycznym, przybliżonym). Te dwa fakty często mają ze ścisły związek. Weźmy na przykład takie równanie:

Z tego co wiem, to nie da się go rozwiązać. Ale spróbujmy; sprowadźmy je do równania o zmiennych rozdzielonych:

I dostajemy po lewej stronie całkę nieelementarną (chyba jakąś eliptyczną). Pominąłem wszelkie zabawy z wartością bezwzględną, bo nie o to chodzi. Takie przykłady można mnożyć; zwłaszcza przy rozwiązywaniu z zasady zachowania energii zamiast z równań Eulera-Lagrange'a. Zatem związek między całkami nieelementarnymi a rozwiązywalnością pewnych równań istnieje. Chciałbym się dowiedzieć, jakie są matematyczne przesłanki, by niektóre całki były nieelementarne i czy istnieją powody, by ruchu niektórych układów nie dało się znaleźć? I proszę o jak najmniej filozoficznych dywagacji.
P.S. Jeśli moderatorzy znajdą jakiś lepszy dział dla tego tematu, to niech go przeniosą.

Heh, cóż powiedzieć, lagranżjan (funkcja Lagrange'a) jest pojęciem faktycznie trudnym, no ale co tam - spróbujemy .

Otóż jak się okazuje, każdy układ mechniczny można parametryzować na wiele sposobów, m. in. można dla każdego takiego układu napisać pewną funkcję, zwaną lagranżjanem, która będzie opisywać ewolucję tego układu. Langranżjan jest zdefiniowany jako , gdzie T - energia kinetyczna układu, zaś V - potencjalna (skrótowo zwana potencjałem). Przykładowo lagranżjan dla spadającej swobodnie masy m przy zaniedbaniu sił dyssypatywnych (tarcia, oporów) będzie wyglądał tak: dla osi Oz skierowanej w górę z zerem na poziomie gruntu.

Najistotniejsze zastosowanie funkcja ta znajduje podczas określania ewolucji współrzędnych uogólnionych. Można udowodnić, iż każdy układ mechaniczny ewoluuje tak, aby dla każdej współrzędnej spełnione były równania Eulera-Lagrange'a II rodzaju:



Teraz jeżeli założymy, iż, po pierwsze energia kinetyczna zależy tylko od prędkości, czyli , zaś potencjał - tylko od położeń, , to otrzymamy układ równań de facto równoważny równaniom ruchu - tyle, że dla wszystkich współrzędnych uogólnionych. Dla naszego przykładowego lagranżjanu byłoby to:







Podstawiając, otrzymamy , co jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zwyczajnym, jednorodnym, o stałych współczynnikach. Jest bardzo łatwe do rozwiązania, spełniająca je funkcja jest postaci , stałe całkowania łatwo wyznaczyć z warunków początkowych.

dowod mozna wyprowadzic chociazby poprzez dowodzenie stalej wartosci pewnego funkcjonalu to pewnie nie tylko ja chciałbym zobaczyć, znam tylko taki

Stałej wartości?? Jak sama nazwa wskazuje: zasada najmniejszego działania. Funkcjonał przyjmuje minimum. Warunkiem przyjmowania minimum jest zerowanie się wariacji. A warunkiem zerowania się wariacji jest równanie Eulera (lub w tym wypadku równanie Lagrange'a II-rodzaju).

dodam ze nie jestem specem od takich rachunkow. Jednakze z tego co pamietam, dowodzi sie (bodajze) niezmienniczosc czegos wzgledem czasu, co powoduje, ze musi istniec funkcjonal, ktory jest zachowany w tym przeksztalceniu (i to jest wlasnie energia). Moge sie tu mylic, bo nie jestem specem od tego;]
Ale tak, ogolnie zerujemy wariacje, co prowadzi do osiagniecia minimum i otrzymuje sie wtedy rownanie opisujace ruch ciala.




Zgadzam sie. Ale jezeli zrozumiec jaka jest prawdziwa natura energii oraz zasady zachowania energia, to usuwamy z tego pojecie energii.

Prawdę mówiąc nie bardzo rozumiem o co ci chodzi.

nie istotne;] ogolnie wspomnialem o tym, bo padlo stwierdzenie, ze zasade zachowania energii wyprowadza sie z zasad Newtona.



W każdym razie metody energetyczne są bardzo przystępne. Można za ich pomocą rozwiązywać takie problemy, przy których zwykła mechanika Newtona by wysiadła. Weźmy np. podwójne whadało matematyczne. Ja się nie podejmuje napisania dla niego równań ruchu przy użyciu metod Newtona (pewnie da radę, ale dzięki serdeczne - Lagrange'em się w w min. rozwiązuje).
W 100% sie zgadzam. Nie twierdze, ze jest to niepotrzebne. Co wiecej, jest to nawet jak najbardziej przydatne i czesto niezastapione.

Osobiscie zastanawiam sie czy ktos moze mi cos ciekawego powiedziec na temat natury energii. Mi sie wlasnie wydaje, ze jest to raczej wlasnosc matematyczna niz fizyczna, a tak sie sklada, ze natura moze byc tym opisywana (mam tu na mysli odpowiednie rownania rozniczkowe).